آشنایی اجمالی با «منطق کوانتومی» – قسمت اول

آشنایی اجمالی با «منطق کوانتومی» – قسمت دوم

در راستای تبیین این‌که فون نیومن، چگونه تبیین منطقی رفتار نامتعارف الکترون در آزمایش دوشکاف را به انجام رسانده است، می‌توان گفت که کار محوری او این است، که یک واسطه‌ی ریاضی میان تجربه و منطق تعبیه می‌نماید. که این واسطه‌ی ریاضی همان «فضای هیلبرتی»[۲] معروف می‌باشد. در راستای بیان ساده‌ و فارغ از پیچیدگی‌های ریاضی کار نیومن، دو گزاره‌ی زیر را در نظر می‌گیریم:

  • گزاره‌ی p: اسپین الکترون e در زمان t1 و در مکان x1 رو به بالا است.
  • گزاره‌ی q : گزاره‌ی : اسپین الکترون e در زمان t1 و در مکان x1 رو به پایین است.
در منطق کوانتومی مورد نظر نیومن (با صرف‌نظر از داوری در خصوص آن) ادعا بر این است که دو گزاره‌ی فوق متناقض نیستند، و استدلال وی در این راستا مبتنی بر یکی پذیرش خاصیت منتسب به پدیده‌های کوانتومی با عنوان «برهم‌نهی[۳]» (یا سرشتگی) و دیگری تکیه بر جدول ارزشی زیر (که نیومن خیلی هم روی آن مانور داده است) می‌باشد.

بر اساس جدول فوق، گزاره‌ی p «نه‌صادق» و «نه‌کاذب» است؛ یعنی بر اساس پذیرش ساری بودن خاصیت برهم‌نهی در پدیده‌های کوانتومی، باید بگوئیم که «اسپین الکترون در آن واحد هم رو به بالاست و هم رو به پایین»؛ لذا هریک از دو گزاره‌ی «اسپین الکترون صرفاً رو به بالا (یا پایین) است» گزاره‌ای کاذب خواهند بود. و فون نیومن به‌اصطلاح در این‌جا وارد منطق سه‌ارزشی (که سوابقی نیز در منطق سنتی ما- مثلاً در اساس‌الاقتباس خواجه نصیر- دارد ولی توسط لوکاسیه‌ویچ در قالب منطق جدید تبیین گردیده) شده‌ است، و ابزار ایشان در این راستا، نیز همان فضای هیلبرتی پیش‌گفته است که وی با بهره‌گیری از آن میان پدیده‌های نوین حوزه‌ی فیزیک (یا همان تجربه) و منطق رابطه‌ای را برقرار نمود. طرح نیومن و بیرکهف را به اختصار در قالب موارد زیر می‌توان بیان نمود :

  • مجموعه‌ی حالات هر سیستم کوانتومی S (یا به عبارت دیگر مجموعه‌ی همه‌ی توابع موج این سیستم کوانتومی)، معادل یا به عبارت دیگر متناظر با یک فضای هیلبرتی H در نظر گرفته می‌شود.
  • مجموعه‌ی همه‌ی nتایی‌هایی که می‌توانند به عنوان نتایج n سنجش در خصوص سیتم S در نظر گرفته شوند، «فضای مشاهده‌ای»[۴] سیستم نامیده شده و هر زیرمجموعه از این فضای مشاهده‌ای، معادل با یک «گزاره‌ی تجربی (یا مشاهده‌ای)» قرار داده می‌شود؛ بنابراین (و با توجه به تناظر فضای فازی سیستم کوانتومی با یک فضای هیلبرتی) می‌توان هر گزاره‌ی تجربی را معادل یک «زیرفضای بسته‌«[۵]ی هیلبرتی در نظر گرفت.
  • بر اساس موارد (۱) و (۲) فوق، ادات سه‌گانه‌ی منطقی («نقض»، «عطف» و «فصل») در منطق کوانتومی به شرح زیر در نظر گرفته می‌شود:
  • ادات نقض : اگر p یک گزاره بوده و h1 زیرفضای هیلبرتی متناظر با آن (در فضای هیلبرتی H) در نظر گرفته شود، زیرفضای متناظر با نقیض گزاره‌ی p (~p) زیرفضایی از فضای هیلبرتی H‌ است که بردارهای عضوی آن بر تمامی اعضای h1 عمودند. (این زیرفضا را اصطلاحاً «مکمل متعامد»[۶] زیرفضای h1 می‌نامیم)
  • ادات عطف : در ریاضیات مربوطه، به‌سادگی ثابت می‌گردد که اشتراک دو زیرفضای بسته‌ی هیلبرتی، خود یک زیرفضای بسته‌ی هیلبرتی است، بنابراین اگر اشتراک دو زیرفضای h1 و h2 را با h3 نشان دهیم، زیرفضای اخیر نیز معادل یک گزاره‌ی تجربی خواهد بود، که همان حاصل‌عطف دوگزاره‌ی معادل با زیرفضاهای h1 و h2 می‌باشد، و می‌توان نشان داد که پیروی ارزش صدق آن، از ارزش صدق دوگزاره‌ی دیگر مطابق با منطق کلاسیک می‌باشد.
  • ادات فصل : از آن‌جا که (چنان که در ریاضیات مربوطه نشان داده شده است) اجتماع دوزیرفضای بسته‌ی هیلبرتی، ضرورتاً یک زیرفضای بسته‌ی هیلبرتی نیست، نمی‌توان مطمئن بود که اجتماع دو زیرفضای بسته‌ی هیلبرتی، معادل با یک گزاره‌ی تجربی باشد. بنابراین برای معرف «ادات فصل» به جای اجتماع دو زیرفضا از «سوپریمم[۷]» دو زیرفضا (که زیرفضایی اعم از اجتماع دو زیرفضا و برابر با کوچک‌ترین زیرفضای بسته‌ای دربرگیرنده‌ی اجتماع دو زیرفضاست) بهره می‌گیریم.
  • قرار دادن سوپریمم دو زیرفضا (به جای اجتماع آن‌ها) به عنوان زیرفضای معادل با حاصل‌فصل دو گزاره، محور اصلی تفاوت دو منطق کوانتومی و کلاسیک است، زیرا چنان‌که از تعریف سوپریمم برمی‌آید، می‌توان نشان داد که ممکن است برداری مانند X از فضای هیلبرتی H ، عضو هیچ‌یک از زیرفضاهای h1 و h2 نبوده، ولی عضو سوپریمم آن‌دو باشد، و این بدین معناست که ممکن است هیچ‌یک از گزاره‌های p و q صادق نبوده، اما ترکیب فصلی آن‌ها صادق باشد؛ در صورتی که می‌دانیم که در منطق کلاسیک، با فرض صادق نبودن هیچ‌یک از دو گزاره، ترکیب فصلی آن‌ها نیز صادق نخواهد بود؛ و به دلیل همین رفتار غیرکلاسیک «ادات فصل» در منطق کوانتومی، برخی از قواعد اساسی منطق کلاسیک، مانند «قاعده‌ی پخشی» در منطق کوانتومی برقرار نیستند.

در پایان این بحث و به عنوان نمونه‌هایی جهت ایجاد بستری برای طرح مسأله‌های پژوهشی، می‌توان به موارد زیر اشاره نمود:

  • اگر خاصیت برهم‌نهی پدیده‌های کوانتومی را به عنوان یک «واقعیت خارجی»[۸] آن‌گاه کار آقای نیومن در ارائه‌ی منطقی متناظر با این پدیده امری مطابق با روال و متعارفی خواهد بود.
  • نیز با تکیه بر فرض فوق و نیز فرض امکان تعمیم و تسری خاصیت برهم‌نهی پدیده‌های کوانتومی بر برخی از امور ماکروسکپیک از قبیلی برخی امور و پدیده‌های مطرح در بعضی حیطه‌های فلسفی و عرفانی (به‌ویژه در حوزه‌ی عرفان‌های شرقی) و نیز برخی ادیان، آن‌گاه می‌توان از منطق کوانتومی مورد طرح نیومن، در راستای تبیین آن موارد بهره برد.

 

[۱] – Quantum Logic

[۲] – Hilbert Space

[۳] – Superposition

[۴] – Observation Space

[۵] – Closed Subspace

[۶] – Ortho Complement

[۷] – Supremum

[۸] – Fact